این شی هندسی که بعدها "بطری کلاین" نامیده شد، اولین بار در سال 1882 توسط ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین توصیف شد. او چه چیزی را نمایندگی می کند؟ این جسم (یا بهتر است بگوییم، یک سطح هندسی یا توپولوژیکی) به سادگی نمی تواند در دنیای سه بعدی ما وجود داشته باشد. همه مدل‌هایی که در مغازه‌های سوغاتی به فروش می‌رسند، ظاهری دارند که فقط یک ایده مبهم از چیستی بطری کلاین به دست می‌دهد.
برای وضوح بیشتر، به شرح زیر است: یک بطری با گردن بسیار بلند را تصور کنید. سپس به صورت ذهنی دو سوراخ در آن ایجاد کنید: یکی در دیوار و دومی در پایین. سپس گردن را خم کنید، آن را داخل سوراخ دیوار قرار دهید و از سوراخ پایین بیرون بیاورید. شیء به‌دست‌آمده تصویری از یک شی فضایی چهار بعدی، که همان بطری کلین واقعی است، در فضای سه‌بعدی ما خواهد بود.
توضیح بطری کلاین به زبان اصطلاحات ریاضی یافرمول ها چیزی به افراد عادی نمی گویند. آیا چنین تعریفی بسیاری از افراد را راضی می کند: بطری کلاین یک منیفولد (یا سطح) غیر قابل جهت گیری است که دارای تعدادی ویژگی است. بعد از کلمه "Properties" می توانید یک سری طولانی متشکل از توابع مثلثاتی، اعداد و حروف یونانی و لاتین بسازید. اما این فقط می‌تواند یک فرد ناآماده را که قبلاً تصوری از این که یک بطری در فضای سه‌بعدی چیست، گیج کند.
واقعیت جالب: نام "بطری کلاین" به احتمال زیاد به دلیل اشتباه یا اشتباه تایپی مترجم به این شی داده شده است. واقعیت این است که کلاین در تعریف خود از کلمه Fläche، یعنی "سطح" در آلمانی استفاده کرده است. هنگام "سفر" از آلمان به کشورهای دیگر، این کلمه به املای مشابه Flasche (بطری) تبدیل شد. سپس این اصطلاح به شکل جدید و اصلاح شده به کشور مبدا بازگشت و برای همیشه به همین شکل باقی ماند.
برای بسیاری از چهره‌های فرهنگی (عمدتاً نویسندگان داستان‌های علمی تخیلی)، خود اصطلاح "بطری کلاین" جذاب بود. استفاده از آن به عنوان یک ویژگی و گاه شخصیت اصلی، به نشانه ای از داستان «روشنفکرانه» تبدیل شده است. مثلاً داستان «آخرین توهم‌گرا» که توسط بروس الیوت نوشته شده است. در داستان، دستیار یک شعبده باز با حامی او که در حال انجام حقه با بطری چهار بعدی کلاین بود، برخورد می کند. اوهامی که به داخل بطری رفت، نیمه غوطه ور در آن باقی می ماند. به گفته نویسنده، این بطری بدون آسیب رساندن به محتویات شکسته نمی شود. آیا واقعا چنین است - نمی توان گفتهیچ یک. حداقل، ریاضیدانانی که شاید بتوانند به این سوال پاسخ دهند، از آن متحیر نشدند، زیرا علم این موضوع بی ربط است.
گاهی اوقات بطری های کلاین مخصوص ساخته شده با شراب برای اهداف تبلیغاتی پر می شوند. درست است، از نظر فنی ساختن چنین بطری شیشه ای دشوار است؛ این به یک دمنده شیشه ای فوق العاده نیاز دارد. بنابراین هزینه نسبتاً بالایی دارد و به ندرت استفاده می شود. و توسعه فناوری و تولید چنین بطری هایی در یک جریان منطقی نیست، زیرا برای این کار باید روش پر کردن بطری با مایع را بررسی کرد (در اینجا نیز مشکلاتی وجود دارد). و احساس غیرعادی و تازگی به سرعت با ناراحتی ریختن شراب از چنین بطری در لیوان ها جایگزین می شود.
